İlk matematiksel fraktal kavramı 1861 de keşfedildi. Karl Weierstrass sürekli fakat hiçbir noktada diferensiyellenebilir olmayan , yani köşe noktalarından oluşan bir eğri üzerindeki değişmeleri araştırken, hiçbir noktada değişme oranının bulunamayacağı kanaati ile sarsılmıştır. Fraktal kelimesini Weierstrass bu cins eğriler için ilk defa kullanmıştır.
Matematik anlamda ilk çalışılan fraktal, Cantor Cümlesidir. Cantor (1845-1918) Halle Üniversitesi'ndeyken matematiğin temel konularından olan ve günümüzde Cümle Teorisi olarak adlandırılan alanı kuran bir Alman matematikçidir.

Cantor cümlesi ile ilgili ilk çalışma 1883 de basılmış [G. Cantor, Über Unendliche, lineare punktmannigfaltigkeiten V, Mathematische Annalen 21 (1883) 545-591] ve bazı özel cümleler için örnek olarak gösterilmiştir. Cantor cümlesi hiçbir yerde yoğun olmayan, mükemmel (perfect) alt cümlelere bir örnektir. Fraktalların tarihi gelişiminde Cantor, Sierpinski, Von Koch, Peano gibi matematikçiler tarafından oluşturulan fraktallar matematiksel canavarlar olarak adlandırılır. Matematiksel canavarların bahçesinde veya ilk fraktalların ortaya çıktığı zamanlarda Cantor cümlesi görünüş açısından diğerlerinden daha az gösterişli olmasına ve diğerlerine göre doğal yoruma daha uzak olmasına rağmen oldukça önemlidir. Cantor cümlesinin, matematiğin pek çok alanında özelikle Kaotik Dinamik Sistemlerde önemli rol oynadığı ve pek çok fraktallar (Julia cümleleri gibi) için de gerekli bir model olduğu görülmektedir.

Etrafımızda, parlak, tuhaf, güzel şekilli cisimler görürüz. Bunlara Fraktal denir. Gerçekten bunlar nedir?

İnternette fraktallar hakkında çok fazla bilgi vardır, fakat bu bilgilerin büyük kısmı ya güzel resimler veya yüksek seviyeli matematiksel kavramlarla ilgilidir. Dolayısıyla kolayca anlaşılır bir ifade ile diyebiliriz ki fraktallar tuhaf resimleri olan cisimler, matematiksel nesnelerdir. Okulda karşılaştığımız matematiğin çoğu eski bilgilerdir. Örneğin, geometride karşılaştığımız çemberler, dörtgenler ve üçgenler M.Ö. 300 üncü yıllarında Öklid tarafından ortaya konulmuştur. Buna rağmen Fraktal Geometri daha çok yenidir. Fraktallar üzerinde matematikçiler tarafından araştırmalar son 25 yıldır başlamış bulunmaktadır.

VON KOCH EĞRİSİ

Burada bir doğru parçası ile başlıyoruz. Doğru parçasını üç eşit parçaya ayırıyoruz ve ortadakini alıyoruz. Onu bir eşkenar üçgen şeklinde dışa doğru tamamlıyoruz. Böylece dört eş doğru parçasından oluşan bir kırık çizgi elde etmiş oluyoruz. Buna motif veya oluşturucu denir. Eğer öncü doğru parçası 1 uzunluğunda seçilirse, motif her biri uzunluklu dört parçadan oluşur. Dolayısıyla motif'in toplam uzunluğu olur.

Benzer biçimde dört parçadan her birini öncü kabul ederek aynı işlemle birer motif haline getiririz. Böylece 2. adımdaki şekli elde ederiz. Bu son halde eş doğru parçası yer alır.

Bu eğrinin total uzunluğu olur. Benzer şekilde bir adım daha devam edilirse 3. adımda doğru parçası elde edilir. Her birinin uzunluğu olan eş doğru parçasından oluşan bir eğridir. Bu eğrinin toplam uzunluğu olur.

Bu fraktalın boyutu : Boyutu D ile gösterirsek ile hesaplanır. Burada N fraktalın oluşumundaki parça sayısını ve a da her parçanın uzunluğunu göstermektedir. 2. Şekle göre dür. 1.Şekle göre olduğundan olur. 3.Şekle göre ve olduğundan olur. 4. Şekle göre ve olduğundan olur. O halde

(aynı)

veya


dır. Limit halde, öncü doğru parçasının bütün orta parçaları hızlı bir şekilde uzaklaşacak ve geriye tam bir Cantor Cümlesi kalacak. O halde Koch Eğrisi de kendine benzerdir. Her bir küçük parça bütünün bir minyatür kopyası olacaktır. Bu nedenle Koch Eğrisi de bir Cantor Cümlesi olacaktır.

KOCH KARTANESİ

Üçgenlere ayrılarak bir kafes biçiminde çizilmiş bir sayfa kağıt alalım.

I. Adım: Geniş bir eşkenar üçgen çizelim.

II. Adım: Altı adet sivri köşesi olan bir yıldız elde etmek için:

Üçgenin bir kenarını üç eşit parçaya ayıralım ve ortadaki parçayı alalım.

2. Boşta kalan iki uca aldığımız bu parçadan birer tane bağlayalım ve uçlarını üçgenin dış tarafında birleştirelim.

3. Bu işi eşkenar üçgenin diğer iki kenarı üzerinde de yapalım. Böylece eşkenar üçgenden altı köşeli bir yıldız elde etmiş oluruz.

Ortaya çıkan bu yıldızın sahip olduğu altı eşkenar üçgenin her birinde II. Adım tekrarlanarak ikinci tekrardaki şekli elde ederiz.

Bu işe devam edersek çevre uzunluğu sonsuz olan bir grafik elde ederiz . Şu halde KOCH Kartanesinin ilginç karakteristiği onun çevresidir. Normalde, bir geometrik şeklin çevresini büyütürseniz alanını da büyütmüş olursunuz. Eğer çevresi çok uzun olan bir kare alırsanız alanı da çok büyük olan bir kare almış olursunuz. Şimdi burada ne olduğuna bakalım:

Yaptığımız iş şu idi:

Bir eşkenar üçgenin bir kenarını üç eşit parçaya böldük ve ortadakini çıkardık.

Çıkardığımız parça ile eşit uzunluklu iki parçayı bir V harfi gibi birleştirerek üçgenin kenarında boş kalan iki ucu bağladık.

Bu işi üçgenin her kenarı için de yaptık. Ve böylece devam ettik.

Bu fraktalın boyutu: 2.Şekle göre ve olduğundan boyut formülünün kullanırsak dır.

TERS KARTANESİ

Bu yeni fraktal Koch Kartanesinin ilginç bir değişimi olacak.

Büyük bir eşkenar üçgenle başlayalım. Eğer üçgenlerle kafeslenmiş bir kağıt kullanırsanız üçgeninizin kenarlarını 9 kafes uzunluğunda (veya 3 ün başka katları olabilir) seçin.

I. Adım: Üçgenin bir kenarını üç parçaya bölelim ve ortadaki parçayı alalım.

Bu parçalardan bir tane daha bularak V şeklinde ekleyip çıkardığımız yeni üçgenin içine doğru dolduralım.

Üçgenin geri kalan iki kenarına da aynı işlemi uygulayalım.

Böylece bir fırıldak şekli elde etmiş oluruz.

II. Adım: Bu metodu fırıldakta yer alan yeni üçgenlerle tekrarlayalım. Böylece yukarıda şekiller dizisini elde ederiz.

Bu fraktalın Boyutu: Koch Kartanesinin ki ile aynıdır.

SİERPİNSKİ ÜÇGENİ

Polonyalı matematikçi VACLAV SİERPİNSKİ (1882-1969) 1916 yılında, daha sonra kendi adıyla anılan ve Sierpinski Üçgeni veya Sierpinski Şapkası (Sierpinski Gasket) veya Sierpinski Kalburu (Sierpinski Sieve) da denen bir fraktal tanıttı. Bu şeklin 12.yüzyılda bir kilisede süsleme olarak çizili olduğu da biliniyor.

Örneğin, üçgen gibi alışılmış bir geometrik şekil alalım ve üzerinde daha karışık bir yeni şekil elde edecek biçimde belirli bir işlem yapalım. Bu işlemi, aynen uygulamaya devam ettikçe daha karışık bir şekil elde ederiz. Bu işlemi tekrar tekrar uygulamaya devam edelim. O zaman, yukarıda şekli görünen ve Sierpinski Üçgeni denen meşhur fraktal elde edilir.

I. Adım : Kenar uzunluğu 2 birim olan bir eşkenar üçgen çizelim. Her kenarının orta noktalarını işaretleyelim ve bu orta noktaları birleştirelim. Böylece dört tane yeni eşkenar üçgen elde etmiş oluruz. Merkezde kalan üçgeni karalayalım ve sonra da merkezdekini kesip atalım.

II. Adım: Kenar uzunluğu 4 birim olan bir eşkenar üçgen çizelim. Kenarlarının orta noktalarını birleştirelim. Elde edilen dört yeni eşkenar üçgenden merkezdekini birinci adımda olduğu gibi karalayalım. Sonra da köşelerde yer alan ve karalanmamış olan üç adet üçgenin her birini aynı işleme tabi tutalım.

III. Adım : Kenar uzunluğu 8 birim olan bir eşkenar üçgen çizelim. Yukarıdaki işlemleri aynen tekrar ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalım. Benzer şekilde boyama işini de yapalım. Boyanmış olanları kesip çıkaralım. Böylece 1 adet büyük, 3 adet ortanca ve 9 adet küçük ve boyanmış eşkenar Üçgene sahip olacağız.

IV. Adım: Bir duvar kağıdından bu işi yapalım. Yukarıdaki adımları sırasıyla takip ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalım.

Sierpinski Üçgeni pür matematik alanında bir zihinsel üründür. Benzer şekilleri deniz kabuğunda ve hücre çoğalmalarında da görebiliriz.

Bu fraktalın Boyutu: ve olduğundan boyut formülüne göre dır.

PASCAL ÜÇGENİ VE SİERPİNSKİ ÜÇGENİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

Blaise Pascal'ın sayılara ait üçgen modelini hatırlayınız. Bu üçgeni yukarıdaki şekilde görüyorsunuz. Bu üçgene Pascal Üçgeni denir.

Pascal üçgenindeki küçük üçgenlerden içinde çift sayı bulunanları boyayalım. Ortaya çıkan Pascal Üçgenini yukarıdaki üçgenle karşılaştıralım. Böylece Pascal Üçgeninden Sierpinski Üçgenini elde etmiş oluruz.

SİERPİNSKİ HALISI

I. Adım: Kenar uzunluğu 9 birim olan bir kare alalım. Kenarlarının her birini üçer eşit parçaya ayıralım. Karşılıklı olarak bu ayırım noktalarını birleştirelim.

II. Adım: Oluşan dokuz eş kareden merkezdekini kesip çıkaralım.

III. Adım: Geri kalan sekiz eş karenin her biri için aynı işi tekrarlayalım.

IV. Adım: Elde edilen şekle aynı metodu tekrar uygulayalım.

Sonuçta elde edilen şekil çoğu zaman Cantor cümlesinin bir genellemesi olarak görülür.

Bu fraktalın boyutu: I. Adıma göre ve olduğundan dır.

CANTOR ORTA ÜÇLÜLERİNİN CÜMLESİ

Cantor Orta Üçlülerinin Cümlesi, birim doğru parçasının üç eşit parçaya bölünmesi ve ortadaki üçte bir parçasının atılması, daha sonra geriye kalan iki parçanın da aynı işleme tabi tutulup ortalarındaki üçte birlik parçalarının atılması ve tekrar geriye kalan dört parçanın her biri için aynı işlemden sonra ortadaki parçalarının atılması ve bu işleme devam edilmesiyle oluşturulur.

Cantor cümlesinin kutu-sayma boyutunu hesaplamak için, git gide küçülen kutularla Cantor cümlesini örteriz.

Bu fraktalın boyutu: ( Çünkü ilk şekle göre ve dır.)

Diğer bir kutu sayma hesabına göre :

ve genel olarak

bulunur.

Bu fraktalın kutu-sayma boyutunu hesaplamak oldukça kolaydır.

PİSAGOR AĞACI

Bitki fraktallarının oluşumuna ait bir yol Pisagor Ağacı yoludur, bu yola fraktal gölgelik de denir. Bu yol, doğruların ayrılmasından ibarettir, dallanmaya çok benzerdir. Doğrular yerine kareler ve üçgenler kullanılarak aşağıdaki şekle benzer bir oluşum ortaya çıkar.

Bu cins bitki fraktallarının en önemli özeliği uç noktalarının irtibatlı oluşudur. Dalların uç noktaları bir yüzey üzerinde birleşirler, tıpkı kara lahanada olduğu gibi.

Bir diğer yol da tekrarlayan fonksiyon fraktallarında olduğu gibi, bir eğrelti otunu oluşturan yoldur.

KESİRSEL BOYUTUN DOĞUŞU

Bir noktanın boyut'u yoktur, uzunluğu, genişliği hatta yüksekliği de yoktur. Aşağıdaki şekli ne kadar büyük çizilirse çizilsin bir nokta olduğu bilinirse noktanın ne olduğu malum olduğuna göre bu şekil bir nokta gösterir ve boyutu P'dir.

Bir doğrunun boyutu 1 dir, bu boyut onun uzunluğuna karşılık gelir. Doğrunun da genişliği ve yüksekliği yoktur. Fakat uzunluğu sonsuzdur.

Genişliği olan fakat boyu sonsuz olan bir doğru nasıl çizilir? Bu öğrenme işinin sonucu olarak bilinen bir şeydir.

Bir düzlem iki boyutludur, bunlar uzunluk ve genişliktir, fakat derinlik (ya da yükseklik) yoktur.

Düzlemi, masanın üst yüzü olarak düşünürseniz uzunluğunu ve genişliğini sınırlamayız.

Uzay, öyle büyük fakat boş bir kutudur ki bu kutunun boyu, eni ve derinliği (yüksekliği) her yönde istenildiği kadar genişletilebilir. Dolayısıyla uzay 3 boyutludur. Elbette uzayı aşağıdaki kutu yerine bir altıgen prizma ile de temsil edebilirdik.

Fraktallar, kesirsel boyutlara sahip olabilirler. Örneğin fraktal 1.6 veya 2.4 boyutlu olabilir. Bunun neden ve nasıl böyle olabileceğini görelim.

Sierpinski Üçgenini ele alalım. Bunun ilk fraktal örneği olduğunu biliyoruz. Bu, gerçekten 1 in yaklaşımlarından sadece bir tanesidir.

Şimdiye kadar verdiğimiz örneklerde de gördüğümüz gibi fraktallar sonsuz adımlardan oluşan bir algoritmanın sonucu olarak ortaya çıkarlar. Aşağıdaki şekilde bu adımlardan sadece üç tanesini görüyorsunuz. Dolayısıyla Sierpinski Üçgeni denen fraktal içinde giderek küçülen sonsuz çoklukta küçük üçgenler vardır.

Fraktalların kesirli boyutlara nasıl sahip olduklarını görebilmek için önce genel olarak boyut demekle neyi kastettiğimizi görelim.

Bir doğru parçası ve onun uzunluğunun iki katındaki diğer bir doğru parçasından oluşan bir kendine benzer şekli ele alalım. Uzunluğu iki misli almakla esas doğru parçasının iki kopyasını almış olduk.

Diğer bir kendine benzer şekil olarak tipinde bir kare ile onun uzunluğunun ve genişliğinin 2 şer katlarından oluşan diğer bir kareyi ele alalım. Böylece esas karenin dört kopyasını elde etmiş olduk. Demek oluyor ki kenarları katlama işi bize dört kopya verdi.

Şimdi de tipinde bir küp alalım. Uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini katlayalım. Böylece esas küpün sekiz kopyasını elde etmiş oluruz. Demek ki bu defa katlama işi bize sekiz kopya vermiş oldu.

Bu bilgileri bir tabloda toplayalım. Burada bir model görüyoruz. O da şudur, boyut üs'dür. Demek ki kopya sayısını biliyor isek onu 2 nin üstel kuvveti olarak ifade ederiz ve bu üs bize boyut olarak gelmiş olur.

Şekil
Boyut
Kopya Sayısı

Doğru Parçası
1


Kare
2


Küp
3



Yukarıdaki tabloya bir satır daha ekleyelim.

Şekil
Boyut
Kopya Sayısı

Doğru Parçası
1


Kare
2


Küp
3


Herhangi bir kendine benzer şekil




Şimdi artık, Sierpinski Üçgeni denen fraktal'ın boyutunu verebiliriz. Kenar uzunlukları 1 er cm olan bir Sierpinski Üçgeni ile başlayalım. Kenarların uzunluklarını katlayalım. Atılan üçgenler Sierpinski Üçgeninin bir parçası olmadıklarından (onlar birer deliktirler) bu katlama işi bize üç kopya verecektir. O halde yazabiliriz, burada boyuttur. O halde buradan olur. ve olduğuna göre deki değeri 1 ile 2 arasındaki bir değerdir. Bunu da tablomuza ekleyelim.

Şekil
Boyut
Kopya Sayısı

Doğru Parçası
1


Sierpinski Üçgeni



Sierpinski Halısı



Kare
2


Küp
3


Herhangi bir kendine benzer şekil




O halde Sierpinski Üçgeninin boyutu 1 ile 2 arasındaki bir sayıdır. Hesap makinanız ı ile eşitliğinde ye 1.1 verirseniz, 3 yerine 2.143547 ve 3 e daha yakın bir değer için ye 1.2 verirseniz, 3 yerine 2.2974 elde edersiniz. Bu ikincisi 3 e daha yakındır. Bu şekilde devam ederseniz ye daha uygun bir değer bulursunuz. 3 e yakın değeri veren sayısı Sierpinski Üçgeni denen fraktal'ın boyutudur, bu da dir. Bu da bize fraktalların boyutlarının nasıl birer kesirli sayılar, kesirli boyut olabileceklerini göstermektedir.

KOMPLEKS TEKRARLAMA(Dinamik sistem)

Kompleks sayıları kullanarak Mandelbrot Cümlesini ve Julia Cümlelerini oluşturmak mümkündür. Bunun için ve kompleks sayılar olmak üzeredönüşümü esas alınır. kompleks sayısından başka bir kompleks sayısı daha alalım ve kompleks sayılarının dizisini olarak yazalım. Bu yolla Mandelbrot Cümlesi ve Julia Cümleleri oluşturulabilir. Julia tipindeki cümleler ile Mandelbrot Cümlesi birbirinden ayırt edilebilir. Bu metodu kısaca açıklayalım.

İlk olarak kompleks sayılar kullanmadan formülasyon hazırlanır. kompleks sayısı ve reel sayılarının bir ikilisi olarak düşünülür ve kompleks sayısı da reel sayıların belli bir iklisi olarak alınır. O zaman dönüşümü, olduğundan dinamik sistemini verir.

JULİA TİPİNDEN CÜMLELERİN AYRILMASI

Her bir sabit kompleks sayısı için ile gösterilen bir Julia cümlesi vardır. Eğer ile gösterilen doldurulmuş Julia cümlesini tanımlarsak bunu tanımak kolaydır. Düzlemin her bir noktası içingenel ifadesi ı ile dizisi elde edilir. Eğer dizi sonsuza gitmiyorsa dir, eğer dizi sonsuza gidiyorsa dir. Örneklere geçmeden önce nin tanımının üç bilgisayar görünümünü verelim.

1. Matematikte her ne kadar düzlemin bütün noktalarını ele alabiliyorsak da pratikte kompleks düzlemin sadece bir parçasını düşünürüz ve bu düzlem parçasının içinde ların sonlu bir kolleksiyonunu alırız. Resimlerin büyüklüğü nedeniyle her bir küçük bölgenin merkezini olarak alırız. Örneğin ebadındaki bir düzlem parçası için adet kutucuk gerekir.

2. Bir dizi sonsuza nasıl gider? Örneğin dizideki bir elemanının merkezden uzaklığı 2 den büyük oluyorsa dizinin diğer elemanlarının orijinden uzaklıkları sonsuz olarak alınır. Bu demektir ki dizi sonsuza gidiyor. O zaman merkezden uzaklıkları 2 ve 2 den küçük kalacak şekildeki diziler sonsuza gitmiyor.

3. Kabul edelim ki lerin hepsinin orijinden uzaklığı 2 olsun. Bu durumda dizinin sonsuza gitmeyeceğini söyleyemeyiz, çünkü belki ün orijine uzaklığı 2 den büyük olabilir. Bu durumda bir seçim yapmalıyız. Tekrarlamanın bir maksimum sayısını seçeriz. Eğer lerin hepsi orijinden 2 uzaklığında iseler o zaman dizinin sonsuza gitmediğini söyleyebiliriz ve dolayısıyla dir deriz. Böylece bazı noktaların ye ait olduklarını kabul etmiş oluruz. Bu kabulde en az hata yapmış olduğumuz en büyük sayısı önemlidir. Diğer yandan bu en büyük sayısı da bilgisayarın daha çok zamana ihtiyacını gerektirir.

Bu algoritma hangi küçük kutucukların ye ait merkezlere sahip olduğunu belirtir. Bu kutucukları siyah ile boyarız. Eğer bir başka ile başlayan dizi sonsuza gidiyorsa 'ı merkez kabul eden kutucuğu başka bir renk ile boyarız. Böylece orijinden uzaklığı 2 den büyük olan kaç deneme yaptığımızı da göstermiş oluruz.

Örneğin, ilk deneme-de eğer bir miktar tekrarla-mayı kırmızı ile boyadı isek, sonra ikinci deneme-dekileri de portakal rengin-de boyayalım,..., böylece devam edelim. Bu durumda aşağıdaki renkli görüntü ortaya çıkar. Bunu elde edebilmek için bilgisayar yukarıdaki dinamik sistemi milyonlarca defa uygulamıştır.

Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
Kaynak: www.matder.org.tr